4.4.E: Problemas de Límites y Operaciones en\(E^{*}\)
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Mostrar con ejemplos que todas las expresiones\(\left(1^{*}\right)\) son indeterminadas.
Dar definiciones explícitas para las siguientes declaraciones limit “unsigned infinity”:
\ [
\ text {(a)}\ lim _ {x\ rightarrow p} f (x) =\ infty;\ quad\ text {(b)}\ lim _ {x\ rightarrow p^ {+}} f (x) =\ infty;\ quad (\ mathrm {c})\ lim _ {x\ rightartarrow fila\ infty} f (x) =\ infty.
\]
Demostrar al menos algunos de los Teoremas\(1-10\) y fórmulas\((\mathrm{i})-(\mathrm{iv})\) en la Nota 1.
En los siguientes casos, encuentra\(\lim f(x)\) de dos maneras: (i) usar definiciones únicamente; (ii) usar teoremas adecuados y justificar cada paso en consecuencia.
\ [
\ begin {array} {l} {\ text {(a)}\ lim _ {x\ rightarrow\ infty}\ frac {1} {x} (=0). \ quad\ texto {(b)}\ lim _ {x\ fila derecha\ infty}\ frac {x (x-1)} {1-3 x^ {2}}}\\ {\ texto {(c)}\ lim _ {x\ fila derecha 2^ {+}}\ frac {x^ {2} -2 x+1} {x^ {2} -3 x+2}\ texto {d)}\ lim _ {x\ fila derecha 2^ {-}}\ frac {x^ {2} -2 x+1} {x^ {2} -3 x+2}}\\ {\ texto {(e)}\ lim _ {x\ fila derecha 2}\ frac {x^ {2} -2 x+1} {x^ {2} -3 x+2} (=\ infty)}\ end {array}
\]
[Pista: Antes de usar teoremas, reducir por una potencia adecuada de\(x\).]
Vamos
\ [
f (x) =\ suma_ {k=0} ^ {n} a_ {k} x^ {k}\ texto {y} g (x) =\ suma_ {k=0} ^ {m} b_ {k} x^ {k}\ left (a_ {n}\ neq 0, b_ {m}\ neq 0\ neq 0\ derecha).
\]
Encuentra\(\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\) si\((\mathrm{i}) n>m ;(\text { ii }) n<m ;\) y (iii)\(n=m(n, m \in N)\).
Verificar la conmutatividad y asociatividad de suma y multiplicación en el\(E^{*},\) tratamiento de Teoremas\(1-16\) y fórmulas\(\left(2^{*}\right)\) como definiciones. Demostrar con ejemplos que la asociatividad y la conmutatividad (para tres términos o más) fallarían si, en lugar de\(\left(2^{*}\right),\) la fórmula\(( \pm \infty)+(\mp \infty)=0\) se adoptara.
[Pista: Para las sumas, primero supongamos que uno de los términos en una suma es\(+\infty ;\) entonces la suma es +\(\infty\). Para los productos, destacar el caso donde uno de los factores es\(0 ;\) entonces considerar los casos infinitos.]
Continuar Problema\(6,\) verificar la ley\((x+y) z=x z+y z\) distributiva al\(E^{*},\) asumir que\(x\) y\(y\) tener el mismo signo (si es infinito), o eso\(z \geq 0\). Mostrar con ejemplos que puede fallar en otros casos; por ejemplo, si\(x=-y=+\infty,\)\(z=-1 .\)